机器学习：决策树算法小结(上)

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什么是决策树

在生活中，我们经常利用决策树这种算法，比如，判断今天要不要去上课，如果犯懒了，那就不去，如果不懒，则再判断这节课要不要点名，如果不点名，那就不去，如果点名，那再判断这节课是不是水课，如果是水课，那就不去，如果不是水课，那就去。以上也可以用if else来表示：

if 犯懒:
    不去
else:
    if 不点名:
        不去
    else:
        if 是水课:
            不去
        else:
            去

这正好是一种树结构：

在这个例子中，我先考虑了自己是否犯懒，然后考虑是否点名，最后考虑了是不是水课，这些就是我所考虑的条件，对应到模型中就是输入空间的特征值。刚才的例子中如果我先考虑是否点名，再考虑其他两个，得出的树模型就会不同，他们的泛化能力也会有所不同。
这么多特征值，我们先考虑哪个呢？有的特征需要考虑吗？要考虑的特征中，他们要考虑的先后顺序是什么？

以上的问题，就是构建决策树模型中，我们要解决的问题，这个问题叫做划分选择

划分选择

着决策树深度的不断增加，我们希望分支两头的节点所包含的样本尽量所属于一个类别，就是希望每次的划分力度更高。再换句话说，我们希望每次分类都能分成两批不属于同一类别的样本，即划分的节点的纯度更高。

信息增益

首先要了解什么是信息熵

信息熵

信息熵是信息理论中用于衡量随机变量不确定度的概念，就是表示随机变量内部的混乱程度的。熵越大，内部越混乱

假设随机样本X中第i类样本所占比例为$p(x_i)$
则X的信息熵定义为

可以看到，当p取0.5的时候，熵值最大。(其实对于多个值，当各个变量X的概率p的取值相等时候,H(p)就是最大的)。

这里直接讲什么是信息增益有些抽象，先来以一组数据来讲解

信息增益的例题

以下图该数据为例

在我们构建决策树的过程中，首先要确定根节点，确定根节点之前，我们先计算输出值Y的信息熵

由图可得

这层并不是根节点，是决策树的第一层，所以我们需要计算加权信息熵，也就是：

这里算出结果为0.888。
同理我们接着算其他特征的加权信息熵。
得出是否有自己的工作这个特征的加权信息熵为0.647。是否有自己的房子这个特征的加权信息熵为0.551。信贷情况为0.608。
这时候我们用前面算出的信息熵分别减去这三个加权信息熵可以得到各自的信息增益了:

我们前面根据Y算出的那个信息熵，学名叫做经验熵,记作$H(X)$后边这个加权信息熵，经验条件熵,记作$H(Y|X)$它度量了我们的X在知道Y以后剩下的不确定性，而信息增益，就是用经验熵-经验条件熵:
$H(X)-H(Y|X)$
需要注意的是,我们这里用$H(X)$表示，X表示特征而不是测试集,在我们计算的时候，是带入的Y，这里的Y和X本质上都是特征，只是一个是输入特征，一个是输出特征。在决策树的第一层建立的时候，我们的经验熵是用Y特征来计算，在第一层建立好之后，计算第二层的时候，就不用Y了，而是继续用X中的特征。

基于信息增益的ID3算法

ID3算法是一种贪心算法，用于构造决策树。ID3算法起源于概念学习系统（CLS），以信息熵的下降速度为选取测试属性的标准，即在每个节点选取还尚未被用来划分的具有最高信息增益的属性作为划分标准，然后继续这个过程，直到生成的决策树能完美分类训练样例。
ID3算法的核心思想是：在所有属性中，选择能够将数据集划分成具有最小熵的属性作为划分标准。 这句话的意思就是选择当前特征下最大信息增益的特征。
算法过程:

光看过程还是很抽象，我们看个例子吧

还是刚才的数据集
我们刚才已经计算了第一层了

可以看到"有自己的房子"这一特征的信息增益最大，然后判断该信息增益是否比我们的阈值ε大，这里这个ε就是一个超参,需要我们自己设置，假设我们设置ε为0.010.那我们就选择该特征为决策树的第一层。
选择了第一层后，会形成两个分支，那就是拥有自己的房子和没有自己的房子。
在拥有自己的房子这个分支中：

可以看到输出特征全部都是同意贷款，这就符合了我们算法中："若D中所有实例属于同一类，则T为单结点树，记录实例类别Ck,以此作为该结点的类标记，并返回T"这一步
所以拥有自己的房子这个分支就直接返回同意贷款，接着另一边的分支并不是都同意贷款，那么我们这个分支。就要继续进行计算信息增益，继续划分。到这一步，我们生成的决策树为：